Hay dos formas de perder puntos en la I3 de Ecuaciones Diferenciales. La primera es no saber el método. La segunda, bastante más común, es saberlo y elegir el equivocado: armar una transformada de Laplace para una ecuación que se resolvía en tres líneas con factor integrante, o intentar un sistema a ojo cuando había que diagonalizar. La tesis de esta guía es corta: en la I3 de MAT1640 el método correcto ahorra media prueba.

Está pensada para quien viene con la I1 y la I2 aprobadas a medias y quiere ordenar la cabeza antes de rendir. Si todavía tropiezas con las ecuaciones de primer orden, no empieces aquí: vuelve a la guía de la I1 y a la de la I2, porque la I3 las da por sabidas.

Qué entra en la I3 de MAT1640

El programa de MAT1640 en el Catálogo UC (consultado el 13 de octubre de 2026) ordena el curso en siete bloques: introducción, ecuaciones de primer orden, ecuaciones lineales de segundo orden, series de potencias, transformada de Laplace, sistemas lineales y teoría cualitativa. Ojo con un detalle: la versión publicada en el catálogo lleva fecha de enero de 2013, así que úsala como mapa general y confirma con el syllabus de tu sección qué cae exactamente en la I3.

En la práctica, lo que suele quedar para la última evaluación del semestre son los bloques del final: Laplace, sistemas lineales y estabilidad. Son justamente los que se ejercitan con menos tiempo, y los que más castigan la elección equivocada de método. Si repartes tu estudio parejo entre los siete bloques, estás repasando de más lo que ya dominas.

Una tabla para decidir antes de calcular

Antes de escribir cualquier cosa, lee el enunciado y pregúntate qué forma tiene la ecuación y qué te piden. La tabla cruza esas dos preguntas con el método que normalmente conviene. Es una guía de reflejo, no una regla absoluta: tu profesor puede exigir un método específico.

Un buen ejercicio: tapa las dos columnas de la derecha y complétalas de memoria usando enunciados de pruebas anteriores. Si no puedes, ya sabes qué repasar.

Laplace: cuándo conviene y cuándo no

La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, y esa es toda su gracia. Pero eso no la vuelve la herramienta por defecto. Mira este caso: y’ + 2y = 6eᵗ con y(0) = 1.

Con factor integrante, la solución general es y = 2eᵗ + c·e⁻²ᵗ, y la condición inicial da c = −1, o sea y = 2eᵗ − e⁻²ᵗ. Con Laplace llegas a Y(s) = (s + 5) / ((s + 2)(s − 1)), que por fracciones parciales es −1/(s + 2) + 2/(s − 1), y al invertir sale exactamente lo mismo. Mismo resultado, pero el segundo camino exige fracciones parciales y una tabla.

Laplace gana cuando el lado derecho no es suave: un escalón que se enciende en t = π, un pulso corto, un impulso. Ahí el método tradicional obliga a resolver por tramos y empalmar soluciones, mientras que la transformada absorbe el salto con un factor e⁻ᵖˢ. Mi recomendación: si el enunciado trae un Heaviside o un delta, parte por Laplace sin dudar; si no, parte por el método clásico y reserva Laplace para verificar.

Sistemas de EDO en problemas tipo I3

El patrón clásico es x’ = Ax con una matriz de 2×2. Toma A = [[1, 2], [2, 1]]. El polinomio característico es λ² − 2λ − 3 = 0, con valores propios λ = 3 y λ = −1. Para λ = 3 un vector propio es (1, 1); para λ = −1, es (1, −1).

La solución general es x(t) = c₁e³ᵗ(1, 1) + c₂e⁻ᵗ(1, −1). Como un valor propio es positivo y el otro negativo, el origen es un punto silla: inestable, con trayectorias que se acercan por una dirección y se alejan por la otra. Esa frase, la clasificación, suele valer puntos aparte, así que no la dejes fuera.

Si además te dan x(0) = (3, 1), resuelves c₁ + c₂ = 3 y c₁ − c₂ = 1, con lo que c₁ = 2 y c₂ = 1. Escribe el sistema de ecuaciones explícito en la hoja; es donde más se pierden signos por apuro.

Errores con las condiciones iniciales

Las condiciones iniciales son el lugar donde un procedimiento correcto se convierte en una respuesta incorrecta. Estos son los tropiezos que más se repiten:

• Imponer la condición demasiado pronto. En un sistema o en una ecuación de segundo orden, primero necesitas la solución general completa; recién entonces evalúas en t = 0.
• Olvidar la derivada. En segundo orden hay dos condiciones, y derivar la solución general para usar y'(0) es un paso que se salta con facilidad.
• En Laplace, mezclar y(0) con y'(0). La transformada de y” es s²Y − s·y(0) − y'(0); invertir el orden de esos dos términos arruina todo lo que viene después.
• Dejar la respuesta en forma de Y(s). Si invertiste a medias, la pregunta sigue sin responderse.

Cómo repasar los métodos de la I1 y la I2 sin perder la semana

La I3 no reemplaza a las anteriores: las usa. Una ecuación de segundo orden aparece disfrazada dentro de un sistema, y un factor integrante aparece dentro de un problema con Laplace. Por eso conviene dedicar un bloque corto, de una o dos sesiones, a rehacer sin apuntes tres ejercicios de cada método anterior: separación de variables, lineales de primer orden y coeficientes indeterminados. No para aprenderlos de nuevo, sino para comprobar que te salen sin pensar.

El resto del tiempo, mejor invertirlo en lo nuevo, en este orden: un día para Laplace con funciones a tramos, un día para sistemas y valores propios, un día para estabilidad y clasificación de equilibrios, y uno completo para una prueba anterior con el reloj en marcha.

Para quién sirve esta estrategia y para quién no

Esta estrategia le sirve a quien ya resuelve los métodos por separado y pierde puntos al elegir entre ellos. No le sirve a quien aún no maneja valores propios: ahí el problema viene de álgebra lineal, y conviene repasar diagonalización primero, por ejemplo con la guía de la I3 de Álgebra Lineal.

Si prefieres practicar con alguien que ya pasó por el ramo, puedes ver el curso de Ecuaciones Diferenciales (MAT1640) UC en ARomperla. Y en el hub de la UC encuentras las guías por ramo y por prueba para armar el cierre del semestre.

A fin de cuentas, el que llega mejor a la I3 no es el que memorizó más fórmulas, sino el que se tomó treinta segundos para decidir el método antes de escribir la primera línea.