Dos matrices de 3×3 pueden tener exactamente el mismo polinomio característico, los mismos valores propios y hasta la misma traza, y aun así una diagonaliza y la otra no. Si en Álgebra Lineal (MAT1203) de la UC calculas λ, sacas dos vectores y escribes “entonces diagonaliza”, la I3 te va a mostrar ese par de matrices y vas a perder medio ejercicio sin entender por qué.
Esta guía sirve si ya pasaste la I1 y la I2, sabes escalonar una matriz y quieres ordenar la parte de valores y vectores propios en una o dos semanas. No sirve si todavía te tiemblan los determinantes de 3×3: para eso conviene partir por la guía del examen de MAT1203, que repasa cómo conversan matriz, sistema y transformación. Y ojo: el temario exacto de cada semestre lo fija tu sección, así que contrástalo con el programa del ramo en el catálogo de cursos de la UC y con lo que dijo tu profesor.
El par de matrices que explica la nota
Armé este par a mano y revisé las cuentas con un programa de álgebra simbólica para no equivocarme yo antes que tú:
A = [[2, 0, 0], [0, 2, 0], [−3, 3, 5]] B = [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [−3, 4, 5]]
Las dos tienen polinomio característico −(λ − 2)²(λ − 5), así que los valores propios son 2 (doble) y 5 (simple). Pero al resolver (A − 2I)v = 0 el sistema deja dos variables libres y aparecen dos vectores propios independientes, (1, 1, 0) y (1, 0, 1). En B, (B − 2I)v = 0 deja una sola variable libre y sale un único vector propio, (1, 0, 1). A diagonaliza; B no.
La diferencia no se ve en el polinomio. Se ve recién cuando escalonas A − 2I y B − 2I y cuentas cuántas filas quedan en cero. Esa cuenta es la que separa un ejercicio completo de uno a medias.
Multiplicidad algebraica contra geométrica, sin humo
La multiplicidad algebraica de un valor propio es cuántas veces se repite como raíz del polinomio característico. La geométrica es la dimensión de su espacio propio, o sea, cuántos vectores propios independientes logras sacar. Siempre se cumple que la geométrica es menor o igual que la algebraica, y una matriz diagonaliza cuando ambas coinciden en todos los valores propios, como resume la entrada sobre diagonalización de Wikipedia (consultada el 8 de octubre de 2026).
En el par de arriba, el valor propio 2 tiene multiplicidad algebraica 2 en ambas. En A la geométrica también es 2; en B es 1. Con eso basta para justificar la respuesta en una línea. Mi postura: en la I3 esa línea vale más que tres páginas de cuentas, porque es lo que demuestra que entiendes el criterio y no solo la receta.
El procedimiento, en una tabla que puedes copiar
Esta tabla es una plantilla de trabajo; cada fila incluye dónde suele perderse el punto, armada por mí a partir de los errores típicos de este tema.
| Paso | Qué haces | Dónde se pierde el punto |
|---|---|---|
| 1. Polinomio característico | Calcular det(A − λI) y factorizarlo completo | Error de signo en la diagonal o una raíz que se pierde al factorizar |
| 2. Valores propios | Anotar cada raíz con su multiplicidad algebraica | Tratar λ = 2 doble como si fueran dos valores distintos |
| 3. Espacio propio | Resolver (A − λI)v = 0 para cada λ y escalonar | Escalonar mal y “encontrar” un vector que no cumple la ecuación |
| 4. Comparar | Contar vectores independientes frente a la multiplicidad algebraica | No escribir la comparación y dejar solo el resultado |
| 5. Armar P y D | Poner los vectores en las columnas de P y los λ en D, en el mismo orden | Orden distinto entre columnas de P y diagonal de D |
Fíjate en que los pasos 3 y 4 son los que separan una respuesta completa de una intuitiva. Muchas veces el enunciado no pide “diagonaliza”, sino algo como “determina si A es diagonalizable y, en caso afirmativo, encuentra P y D”. Ese “en caso afirmativo” es una trampa amable: si tu comparación del paso 4 dice que no, el ejercicio termina ahí, con la justificación escrita, y no necesitas fabricar una P que no existe. Armar matrices imposibles por no haber mirado primero ese resultado es una forma muy cara de perder tiempo en una prueba.
Tip práctico: antes de entregar, multiplica A·v para un solo vector propio y verifica que sale λ·v. Son diez segundos y detecta casi todos los errores de los pasos 1 a 3.
Espacios y bases: la mitad del ejercicio que se olvida
Cuando pidan “una base del espacio propio de λ = 2”, la respuesta es el conjunto de vectores, no el valor. Para A sería {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}, y su dimensión es 2. Parece obvio, pero es fácil dejar el sistema escalonado y quedarse ahí, sin extraer la base.
Un recurso que ayuda: después de escalonar A − 2I, escribe la solución en forma paramétrica. Con x = y + z, tomas y = s, z = t y queda s(1, 1, 0) + t(1, 0, 1). Los vectores que multiplican a los parámetros son tu base; la cantidad de parámetros libres es la dimensión. Así no puedes olvidar ninguno.
Los errores de signo que cuestan medio punto
La mayoría de los puntos que se pierden en esta parte no son conceptuales. Son tres descuidos repetidos:
- Restar λ solo en una posición: A − λI resta λ en toda la diagonal, no en un casillero.
- Cambiar de signo el polinomio a medio camino: det(A − λI) y det(λI − A) tienen las mismas raíces, pero no mezcles ambos en la misma hoja.
- Arrastrar una fracción mal reducida al escalonar y terminar con un vector que ya no resuelve el sistema.
Ninguno requiere más teoría; requieren revisar. Reserva los últimos diez minutos de la prueba para verificar con la multiplicación del tip anterior.
Cómo repasar I1 e I2 sin rehacer el semestre
No necesitas volver a hacer todo. Lo que sí reaparece es el escalonamiento (para los espacios propios), los determinantes (para el polinomio) y la idea de independencia lineal (para decidir si tus vectores sirven como base). Haz una sola pasada rápida a cada una con ejercicios cortos de las pruebas anteriores, y deja el tiempo grande para practicar pares de matrices como A y B, donde la decisión se juega en la comparación de multiplicidades.
Por qué insistir en esto: quien repasa la I3 releyendo la materia siente que avanza, pero lo que rinde es resolver y corregirse. Si resuelves un ejercicio y no lo comparas con tu pauta, solo practicaste a equivocarte con confianza.
Una forma concreta de organizarte: dos sesiones para determinantes y escalonamiento, tres para diagonalización con pares que se parezcan entre sí, y una para simular la prueba con reloj. Si quieres apoyo guiado, mira el curso de Álgebra Lineal (MAT1203) UC en ARomperla, o revisa el resto de las guías en el hub de la UC.
Lo que haría yo si me quedara una semana
Dejaría de resolver ejercicios “lindos” y buscaría los que se parecen entre sí. Tomaría tres matrices con un valor propio repetido, resolvería A − λI para cada una y escribiría, antes de cualquier otra cosa, la frase de comparación: “multiplicidad algebraica 2, geométrica 1, no diagonaliza”. Si puedes decirlo en voz alta sin mirar apuntes, estás listo para el ejercicio que más puntos reparte en esta parte.
Y si tu prueba trae matrices simétricas, respira: sus valores propios son reales y siempre diagonalizan, lo que ahorra la comparación. Pero no apuestes todo a que te toque ese caso.
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