Si aprobaste la I1 de Ecuaciones Diferenciales (MAT1640) memorizando recetas —”si es separable, integro; si es lineal, factor integrante”—, tengo una mala y una buena noticia. La mala: en la I2 esa estrategia se cae. La buena: la I2 en realidad premia entender el método, y una vez que le agarras la lógica, es más ordenada que la I1.

Esta guía es para el que va llegando a la segunda mitad del ramo un poco perdido y quiere saber exactamente qué estudiar y en qué orden. Si eres de los que ya domina Laplace y solo busca ejercicios, quizás te sirva más saltar directo al curso; pero si la palabra “convolución” te da un poco de susto, sigue leyendo.

Qué entra en la I2 de MAT1640 (y qué cambia respecto a la I1)

La I1 gira en torno a EDO de primer orden y de segundo orden con coeficientes constantes. La I2 sube un piso: el foco pasa a la transformada de Laplace, los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y, según el semestre, las soluciones en series de potencias. El cambio importante no es solo el tema: es que ahora te piden encadenar varios pasos sin perder el hilo, y un error de álgebra a mitad de camino te arrastra toda la pregunta.

Si todavía sientes floja la base de primer y segundo orden, vale la pena repasar antes la guía de la I1 de MAT1640, porque varios problemas de Laplace se apoyan justo en eso. Por eso el consejo de partida es simple: la I2 no se aprueba haciendo diez ejercicios el día antes. Se aprueba teniendo una tabla de transformadas bien internalizada y habiéndote equivocado antes en tus propios ejercicios, no en la prueba.

Transformada de Laplace: la protagonista de la I2

La idea de Laplace es astuta: transforma una ecuación diferencial en t en una ecuación algebraica en s. Resuelves el álgebra, y después “devuelves” la solución con la transformada inversa. Todo el peso de la I2 descansa en que manejes esta ida y vuelta sin dudar.

Lo mínimo que tienes que tener memorizado (o poder deducir en segundos) es esta tabla. No la mires como algo que “hay que aprenderse”: mírala como tu set de herramientas, porque la vas a usar en casi todas las preguntas.

El error clásico acá es olvidar el primer teorema de traslación: cuando aparece un factor e^at, todo se desplaza y cambias s por (s − a). Practica ese desplazamiento hasta que te salga automático.

Resolver problemas de valor inicial con Laplace, paso a paso

El formato estrella de la I2 es un problema de valor inicial (PVI): te dan una EDO con y(0) e y'(0) y te piden y(t). La rutina que casi nunca falla es esta: aplica Laplace a toda la ecuación, reemplaza las condiciones iniciales apenas aparecen las derivadas transformadas, despeja Y(s), separa en fracciones parciales y aplica la inversa.

El paso donde se pierde más gente no es Laplace: son las fracciones parciales. Si tu Y(s) quedó como un cuociente feo, respira y descompónlo bien antes de buscar en la tabla. Un buen hábito es reservar los últimos dos minutos de cada pregunta para verificar que tu solución cumple la condición inicial: si y(0) no calza, tienes un error y todavía estás a tiempo.

Escalón, Dirac y convolución: dónde se pierden puntos

Aquí es donde la I2 separa notas. La función escalón de Heaviside u(t − a) modela algo que “se prende” en el tiempo a, y el segundo teorema de traslación te dice cómo transformarla. La delta de Dirac δ(t − a) modela un impulso instantáneo y, aunque suena rara, su transformada es simple: e^−as.

La convolución aparece cuando tienes que invertir un producto de dos transformadas y no puedes separarlo en fracciones parciales. No es difícil, pero exige orden. Mi recomendación honesta: no dejes este tema para el final del estudio. Es justo el que los ayudantes preguntan porque “diferencia”, y por lo mismo es el que más puntos regala a quien lo practicó.

Sistemas de EDO lineales: valores y vectores propios

La otra gran mitad de la I2 son los sistemas de la forma X’ = AX. La estrategia base es de Álgebra Lineal: calculas los valores propios de A, sacas sus vectores propios y armas la solución general como combinación de exponenciales e^λt.

Los tres casos que tienes que distinguir sin pensar son: valores propios reales y distintos (lo más directo), valores propios complejos (aparecen senos y cosenos, cuidado con la parte real e imaginaria) y valores propios repetidos (necesitas un vector propio generalizado). Si te confundes entre estos casos, ahí está tu tema de estudio número uno. Vale la pena tener a mano tus apuntes de MAT1203, porque esta parte es Álgebra Lineal aplicada.

Soluciones en series de potencias alrededor de puntos ordinarios

Cuando la EDO tiene coeficientes variables y no se resuelve con los métodos anteriores, entran las series de potencias. Propones y = Σ aₙxⁿ, la derivas término a término, la reemplazas en la ecuación y armas una relación de recurrencia para los coeficientes.

El truco mecánico que más cuesta es reindexar las sumatorias para que todas partan del mismo exponente. No es conceptualmente difícil, pero un error de índice arruina toda la recurrencia. Practica solo ese paso —correr índices— hasta que deje de darte miedo, y distingue bien un punto ordinario de uno singular antes de partir.

Un ejercicio tipo I2 resuelto de principio a fin

Resolvamos y” + 4y = 0, con y(0) = 1, y'(0) = 0, usando Laplace. Aplicando la transformada: s²Y − s·y(0) − y'(0) + 4Y = 0. Reemplazamos las condiciones: s²Y − s + 4Y = 0.

Despejamos: Y(s)(s² + 4) = s, entonces Y(s) = s / (s² + 4). Miramos la tabla: s/(s² + b²) es la transformada de cos(bt), con b² = 4, o sea b = 2. Por lo tanto y(t) = cos(2t).

Verificación rápida: y(0) = cos(0) = 1 ✔ y y'(t) = −2·sin(2t), así que y'(0) = 0 ✔. Ambas condiciones calzan. Fíjate cómo el paso decisivo no fue Laplace en sí, sino reconocer la forma de la tabla y verificar al final. Ese es exactamente el hábito que te sube la nota.

Si quieres practicar con una batería de PVI, sistemas y series ordenados por dificultad y con solucionario paso a paso, revisa el curso de Ecuaciones Diferenciales MAT1640 para la I2. Es la forma más rápida de llegar con kilómetros de ejercicios encima.

Preguntas frecuentes sobre la I2 de MAT1640

¿Entra la materia de la I1 en la I2? Depende de la sección, pero por lo general la I2 se concentra en Laplace, sistemas y series. Igual conviene tener frescas las EDO de segundo orden, porque son la base de varios problemas de Laplace.

¿Me sirve memorizar la tabla de transformadas o la dan? Muchas secciones entregan un formulario, pero si dependes de buscar cada línea pierdes tiempo valioso. Tenla internalizada y usa el formulario solo para confirmar.

¿Qué tema conviene priorizar si tengo poco tiempo? Laplace con fracciones parciales y el segundo teorema de traslación (escalón). Es lo que más aparece y lo que más puntos concentra.

¿Cómo evito los errores de álgebra que me bajan la nota? Trabaja ordenado, escribe cada paso y reserva dos minutos por pregunta para verificar la condición inicial. La mayoría de los puntos perdidos son de álgebra, no de concepto.

Para ver todas las guías de ramos de la Universidad Católica en un solo lugar, pasa por el hub de la UC. Ahí encuentras el resto de las pruebas de MAT1640 y de los demás cursos de plan común.