Imagina esta pregunta de examen: «Sea W el conjunto de vectores (x, y, z) de R³ tales que x + y = 2z. ¿Es W un subespacio?». Hay dos maneras de equivocarse. La primera es ponerte a calcular algo, lo que sea, sin saber qué. La segunda es contestar «sí» con total seguridad y sin una sola línea de justificación. En las dos pierdes casi todo el puntaje, y las dos le pasan cada semestre a gente que sí estudió.

Esta guía es para quien rinde el examen de Álgebra Lineal MAD1210 (o EAI1700, según tu malla) en la Universidad de los Andes y ya pasó por matrices, determinantes y sistemas. Si todavía te falta esa base, parte por la guía de la P1 y vuelve. Y una aclaración honesta: no tengo tu pauta ni tu programa, así que lo que sigue es una estrategia para el tipo de contenido que cierra el ramo, no una predicción de preguntas.

El tercer módulo cambia el verbo: de «calcula» a «demuestra»

Hasta la P2 casi todo lo que te piden tiene un número al final: una inversa, un determinante, el valor de k. En el cierre del ramo, que según el temario del curso trata espacios y subespacios vectoriales y ortonormalización, el verbo cambia. Ahora se te pide justificar: que un conjunto es o no es subespacio, que unos vectores son una base, que una construcción produce vectores ortogonales.

Ese cambio de verbo es donde más se cae la gente, porque el hábito de seis semanas es resolver. Una respuesta de examen en este módulo se parece más a un argumento de tres líneas que a una cuenta larga. Y los argumentos se practican escribiéndolos, no mirándolos resueltos.

Subespacios: tres condiciones y cero intuición

Para probar que W es subespacio necesitas tres cosas, siempre las mismas: que el vector cero esté en W, que la suma de dos elementos de W siga en W, y que un escalar por un elemento de W siga en W. Eso es todo. No hay una cuarta condición secreta ni una forma de «verlo a ojo».

El truco práctico es partir por el cero. Si el cero no cumple la condición que define al conjunto, ya terminaste: no es subespacio y basta una línea. Por ejemplo, si el conjunto exige x + y = 1, el (0, 0, 0) no lo cumple y listo. Con el ejemplo del comienzo, x + y = 2z, el cero sí cumple, así que tocan las otras dos condiciones, y ahí sale que sí es subespacio porque la ecuación es lineal y homogénea.

Cuando quieras refutar, no demuestres nada general: da un contraejemplo concreto con números. Dos vectores del conjunto cuya suma se sale es una respuesta completa y vale el puntaje máximo de esa parte.

Base y dimensión: la pregunta disfrazada de tres maneras

«Encuentra una base», «determina la dimensión» y «demuestra que estos vectores generan W» son la misma pregunta con tres máscaras. En los tres casos haces lo mismo: escribes el espacio con parámetros libres, sacas los vectores que acompañan a cada parámetro y verificas que sean linealmente independientes.

La dimensión, entonces, es simplemente el número de parámetros libres. Si en el ejemplo W tiene dos variables libres (porque una ecuación liga las tres), su dimensión es 2 y cualquier base tiene exactamente dos vectores. Contar vectores te sirve además de autocontrol: si te salió una base de tres vectores para un plano, algo anduvo mal.

Ortonormalización: el proceso es una receta, úsala como receta

Gram-Schmidt asusta porque las cuentas se ven largas, pero la lógica cabe en una frase: a cada vector nuevo le restas su proyección sobre los que ya construiste, de modo que lo que queda es perpendicular a todos ellos. La fórmula de proyección sobre u es (⟨v, u⟩ / ⟨u, u⟩)·u. Puedes contrastarla con la explicación de Gram-Schmidt en Wikipedia, que consulté el 31 de octubre de 2026.

Dos hábitos te ahorran la mayoría de los errores. Primero, deja la normalización para el final: construye todos los vectores ortogonales con fracciones y recién después divides cada uno por su norma. Si normalizas en cada paso, arrastras raíces cuadradas por toda la hoja y multiplicas las chances de equivocarte. Segundo, verifica con un producto punto: al terminar, el producto de dos vectores distintos de tu lista tiene que dar cero. Son diez segundos y te dicen si puedes entregar.

Un mapa de qué te pueden pedir y cómo no perder el punto

Esta tabla resume el módulo como lo trabajaría yo. Es una guía de estudio propia, no la pauta oficial:

Dato consultado el 31 de octubre de 2026 en la ficha del curso de examen de ARomperla: el módulo final tiene 2 clases, «Espacios y subespacios vectoriales» (24:54) y «Ortonormalización» (19:32), y cuesta $15.990. Son menos de 45 minutos de video, lo que confirma que el módulo es corto: lo que lo hace difícil es el cambio de verbo, no el volumen.

Un plan de diez días para este módulo

Lo que yo haría con diez días y otros ramos encima: los días 1 y 2, subespacios, con cinco conjuntos al día en los que decides primero si lo son y después lo justificas por escrito. Días 3 y 4, base y dimensión, siempre pasando de la ecuación a los parámetros libres. Días 5 y 6, Gram-Schmidt con tres vectores en R³ hasta que el proceso salga sin mirar. Días 7 y 8, problemas mixtos con tiempo. Días 9 y 10, un examen anterior completo, cronometrado, y repaso solo de los errores que anotaste.

Una regla que sirve para todo el ramo: escribe las respuestas como si alguien las fuera a corregir con lápiz rojo. Si no está la justificación, para el corrector no existe, aunque tú la tengas clarísima en la cabeza. Para repasar la parte de matrices y determinantes que alimenta todo esto, vuelve a la guía sobre diagonalizar en Álgebra Lineal UAndes.

A quién le sirve apoyo externo y a quién no

Si vas a clases, haces las ayudantías y puedes escribir de memoria las tres condiciones de subespacio, probablemente no necesitas nada más que practicar con pruebas antiguas. El curso de examen le sirve a dos perfiles: a quien llega atrasado y necesita ordenar el módulo final rápido, y a quien entiende al ver una solución pero se bloquea cuando tiene que escribirla desde cero. Si tu problema es que no estás estudiando, ningún video lo arregla. Si quieres ver el módulo completo, aquí está el curso de Álgebra Lineal MAD1210-EAI1700 para el examen.

Dudas que se repiten antes del examen

¿Tengo que demostrar todo desde cero?
Depende del profesor, pero una regla segura es justificar cada paso con la definición o propiedad que usas, aunque sea en una línea. Confirma en tu sección qué teoremas puedes citar.

¿Y si no recuerdo la fórmula de proyección?
Reconstrúyela: buscas el múltiplo de u que deja el resto perpendicular a u. Igualar ese producto punto a cero te devuelve la fórmula.

¿Qué hago si me quedo sin tiempo?
Deja escritas las condiciones y el planteamiento de cada pregunta, aunque no termines las cuentas. En un ramo que premia el razonamiento, el planteamiento correcto suele valer más que la aritmética final.

Si estás cursando otros ramos en esa universidad, en el hub de Universidad de los Andes tienes las demás guías, y para normas generales siempre conviene revisar la información oficial en uandes.cl (consultado el 31 de octubre de 2026).