Si entraste a Ingeniería Comercial o a Ingeniería en la UAndes, el ramo de Álgebra Lineal (MAD1210-EAI1700) es uno de los primeros filtros reales del semestre. La Prueba 1 no es difícil por su contenido en sí —matrices, sistemas de ecuaciones y vectores—, sino porque mezcla muchos pasos donde un error de signo te bota todo el ejercicio. En esta guía te ordeno el temario de la P1, te muestro dónde se cae la mayoría y te dejo ejercicios resueltos tipo prueba para que llegues preparado de verdad.

Temario real de la P1: matrices, sistemas y vectores

La Prueba 1 de MAD1210-EAI1700 se concentra casi siempre en los primeros capítulos del curso. Aunque cada semestre cambia algo, el bloque que se evalúa suele ser bien estable:

• Matrices: suma, producto, transpuesta, matriz identidad y propiedades básicas.
• Sistemas de ecuaciones lineales: resolución por eliminación de Gauss y Gauss-Jordan, matriz aumentada, clasificación (única solución, infinitas, sin solución).
• Determinantes: cálculo en 2×2 y 3×3, y su relación con la existencia de inversa.
• Vectores en Rⁿ: combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal.

El truco para estudiar bien es no tratar estos temas como islas separadas. En la P1 te van a pedir, por ejemplo, que resuelvas un sistema (Gauss) y después interpretes el resultado en términos de vectores. Todo está conectado.

Operaciones con matrices: dónde se cae la gente

El error número uno es el producto de matrices. Mucha gente lo confunde con multiplicar elemento por elemento, y no es así: cada entrada del resultado es el producto punto entre una fila de la primera matriz y una columna de la segunda. Recuerda la regla de dimensiones: una matriz de tamaño m×n solo se puede multiplicar por una de tamaño n×p, y el resultado es m×p. Si las dimensiones internas no calzan, el producto simplemente no existe.

Errores típicos que cuestan puntos

• Asumir que AB = BA. El producto de matrices no es conmutativo casi nunca.
• Olvidar que (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (se invierte el orden al transponer un producto).
• Perder un signo al restar matrices o al pasar términos en un sistema.

Consejo concreto: cuando multipliques matrices a mano, anota arriba de cada cálculo “fila i × columna j” para no perderte. Es lento al principio, pero te ahorra el error que más se repite en la P1.

Sistemas de ecuaciones: Gauss-Jordan paso a paso

Este es el corazón de la prueba. La idea de Gauss-Jordan es llevar la matriz aumentada del sistema a su forma escalonada reducida usando solo tres operaciones permitidas:

1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
3. Sumar a una fila un múltiplo de otra.

El objetivo es dejar unos (1) en la diagonal y ceros encima y debajo de ellos. Cuando lo logras, la solución se lee directamente.

Cómo clasificar la solución

Una vez escalonada la matriz, mira la cantidad de pivotes (los unos líderes):

• Si hay un pivote por cada variable y no aparece una fila contradictoria → solución única.
• Si hay menos pivotes que variables → infinitas soluciones (aparecen variables libres).
• Si aparece una fila tipo [0 0 0 | k] con k ≠ 0 → el sistema no tiene solución.

Vectores y combinaciones lineales: lo esencial

Un vector es combinación lineal de otros si puedes escribirlo como suma de esos vectores multiplicados por escalares. La pregunta clásica de la P1 es: “¿es el vector v combinación lineal de v₁ y v₂?”. Eso se traduce en plantear un sistema de ecuaciones y resolverlo con Gauss. Si el sistema tiene solución, sí lo es; si no, no.

La independencia lineal es la otra cara de la moneda: un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única forma de combinarlos para obtener el vector cero es con todos los escalares iguales a cero. Si existe otra combinación que da cero, son dependientes. Otra vez: todo se reduce a armar un sistema y resolverlo.

Ejercicios resueltos tipo P1 UAndes

Estos ejercicios siguen el patrón típico que suele aparecer en la Prueba 1. No son copia de una prueba real, sino el formato que verás.

Ejercicio 1: Resolver un sistema con Gauss-Jordan

Resuelve el sistema:

x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 2

Solución: armamos la matriz aumentada y aplicamos operaciones por filas. Fila2 → Fila2 − 2·Fila1, y Fila3 → Fila3 − Fila1. Seguimos escalonando hasta dejar la identidad a la izquierda. El resultado al que se llega es x = 1, y = 2, z = 3. Para verificar, reemplaza en la ecuación original: 1 + 2 + 3 = 6. Calza. Siempre verifica reemplazando: es el chequeo más rápido para no entregar una respuesta mal.

Ejercicio 2: Producto de matrices

Dadas A = [[1, 2],[0, 3]] y B = [[4, 1],[2, 5]], calcula AB.

Solución: cada entrada es fila por columna. Entrada (1,1): 1·4 + 2·2 = 8. Entrada (1,2): 1·1 + 2·5 = 11. Entrada (2,1): 0·4 + 3·2 = 6. Entrada (2,2): 0·1 + 3·5 = 15. Entonces AB = [[8, 11],[6, 15]]. Nota que si calcularas BA te daría un resultado distinto: por eso el orden importa.

Ejercicio 3: Independencia lineal

¿Son v₁ = (1, 0, 1), v₂ = (0, 1, 1) y v₃ = (1, 1, 2) linealmente independientes?

Solución: plantea a·v₁ + b·v₂ + c·v₃ = 0 y resuelve. Vas a notar que v₃ = v₁ + v₂, así que hay una combinación no trivial que da cero. Por lo tanto, son linealmente dependientes. Este tipo de pregunta premia que detectes la relación antes de hacer todo el sistema.

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Cómo aprovechar las ayudantías y los apuntes oficiales

Las ayudantías de la UAndes son oro para Álgebra Lineal, porque ahí se resuelven ejercicios muy parecidos a los de la prueba. Tres hábitos que marcan la diferencia:

• Llega con las preguntas listas. Revisa los ejercicios de la guía antes y anota dónde te trabaste. Aprovechar la ayudantía para preguntar lo puntual rinde mucho más que ir a verla en blanco.
• Rehaz los ejercicios sin mirar. Entender la solución del ayudante no es lo mismo que poder reproducirla solo en la prueba. Cierra el cuaderno y vuelve a hacerlo.
• Junta tus errores en una hoja. Si siempre te equivocas en el mismo paso del producto de matrices, tenerlo a la vista te entrena a frenar justo ahí.

Y un consejo de manejo de tiempo: en la P1 parte por el ejercicio que dominas mejor para asegurar puntaje, y deja para el final el que te cuesta. Es fome quedarte pegado en uno difícil y no alcanzar a hacer los fáciles.

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Preguntas frecuentes sobre la P1 de Álgebra Lineal UAndes

¿Qué entra en la Prueba 1 de MAD1210-EAI1700?

Generalmente entra matrices y sus operaciones, sistemas de ecuaciones lineales resueltos con Gauss-Jordan, determinantes básicos y vectores con combinaciones lineales. Confirma siempre el temario exacto con tu profe, porque puede variar por sección y semestre.

¿Se puede usar calculadora en la prueba?

Depende de la sección y del profesor. En muchos casos de Álgebra Lineal se pide resolver a mano para mostrar el procedimiento. No asumas: pregunta antes de la prueba para no llevarte la sorpresa.

¿Cuál es el tema donde más se cae la gente?

El producto de matrices y los errores de signo dentro de Gauss-Jordan. No son temas difíciles, pero acumulan pasos donde un descuido arrastra el error hasta el final del ejercicio.

¿Cómo verifico que mi solución de un sistema está bien?

Reemplaza los valores que encontraste en las ecuaciones originales. Si todas se cumplen, tu solución es correcta. Es el chequeo más rápido y te evita entregar una respuesta equivocada.

¿Cuánto conviene estudiar para esta prueba?

Más que horas seguidas, lo que rinde es practicar ejercicios variados de forma espaciada durante la semana previa. Álgebra Lineal se aprende haciendo, no leyendo: apunta a resolver muchos problemas tipo prueba.