Tienes la matriz en la hoja, calculas el polinomio característico, sacas los valores propios y, cuando vas a armar la matriz P, te das cuenta de que te faltan vectores. Casi siempre ahí se pierde medio examen de Álgebra Lineal: no por el cálculo, sino porque nadie se preguntó antes si diagonalizar era posible.

Esta guía es para quien rinde el examen de Álgebra Lineal (MAD1210-EAI1700) en la UAndes y ya domina las operaciones básicas, pero se traba al decidir qué camino tomar con una matriz cuadrada. No es para quien todavía no maneja escalonar matrices o calcular determinantes; para eso conviene volver primero a nuestra guía de la P1 de MAD1210.

La pregunta que va antes de calcular

Nuestra tesis es simple: en los problemas de valores y vectores propios, la nota se gana decidiendo, no calculando. Un estudiante que diagonaliza a ciegas puede gastar veinte minutos para descubrir al final que la matriz no se deja. Otro, que se pregunta primero «¿hay suficientes vectores propios?», resuelve el mismo ejercicio en menos tiempo, y si no se puede, lo justifica y pasa a la siguiente pregunta.

Una aclaración honesta: no conocemos la pauta ni el formato exacto de tu examen, porque cambian por sección y por semestre. Lo que sigue es una estrategia de estudio general sobre el tema, no una predicción de lo que va a salir. Revisa el programa de tu sección y las pruebas anteriores que haya subido tu profesor.

Los tres criterios que sí o sí debes tener claros

Para no inventar reglas, nos apoyamos en la explicación de matriz diagonalizable en Wikipedia (consultada el 3 de octubre de 2026), que resume lo mismo que verás en tus apuntes: una matriz es diagonalizable cuando existe una base formada por vectores propios suyos. De ahí salen tres atajos de decisión.

Esa tabla cabe en un papel del tamaño de una tarjeta. Si te la sabes de memoria y entiendes por qué funciona, ya resolviste la parte de «decidir».

Dos matrices casi idénticas, dos destinos distintos

Este par de ejemplos es el que más nos gusta para practicar, porque se parecen mucho y se comportan distinto.

Primera matriz: A = [[2, 1], [0, 2]]. Es triangular, así que sus valores propios están en la diagonal: el 2 aparece dos veces. Para ver el espacio propio resuelves (A − 2I)v = 0, que da y = 0. Todos los vectores propios son múltiplos de (1, 0): el espacio propio tiene dimensión 1, pero la multiplicidad algebraica es 2. No alcanzan los vectores, y A no es diagonalizable.

Segunda matriz: B = [[3, 1], [0, 2]]. Cambiaste un solo número de la diagonal, y ahora los valores propios son 3 y 2, distintos. No hay nada más que comprobar: B se diagonaliza. Para el 3 sirve (1, 0); para el 2, resuelves (B − 2I)v = 0 y obtienes (1, −1). Armas P = [[1, 1], [0, −1]] y D = diag(3, 2).

Para comprobar tu trabajo, la potencia sale así: B^n = P·D^n·P⁻¹ = [[3^n, 3^n − 2^n], [0, 2^n]]. Prueba con n = 1 y debes recuperar B. Ese chequeo de dos segundos es el hábito que más puntos salva, y además te avisa si arrastraste un signo o intercambiaste las columnas de P sin darte cuenta.

El caso simétrico: el que parece difícil y es el más amable

Con S = [[2, 1], [1, 2]] el polinomio característico es (2 − λ)² − 1 = 0, de donde λ = 3 y λ = 1. Los vectores son (1, 1) y (1, −1), que ya son ortogonales entre sí. Solo debes dividir cada uno por su norma, √2, y tienes una base ortonormal.

Si el enunciado pide «diagonalización ortogonal» y la matriz es simétrica, no hay que demostrar que existe: el resultado general ya lo asegura. Lo que te piden es construirla, y ahí lo evaluable es la normalización, que es donde se cuelan los errores por apuro. Si en la prueba el profesor da una matriz no simétrica y pide diagonalización ortogonal, sospecha: probablemente la respuesta sea que no se puede.

Un plan de estudio para los últimos días

No necesitas cincuenta ejercicios, necesitas ejercicios bien elegidos. Una secuencia que recomendamos:

1. Día 1: ocho matrices de 2×2 y 3×3 donde solo respondas «¿se diagonaliza? ¿por qué?», sin armar P. Hazlo en voz alta si estás solo.
2. Día 2: diagonaliza completo tres matrices con valores propios distintos y verifica con A·P = P·D.
3. Día 3: trabaja los casos con valores propios repetidos, tanto los que sí como los que no se diagonalizan. Esta es la zona donde el examen separa notas.
4. Día 4: matrices simétricas y bases ortonormales, más un ejercicio de potencia o de sistema recursivo que use la diagonalización.
5. Día 5: un simulacro con cronómetro, usando evaluaciones anteriores de tu sección. Anota en qué minuto te trabaste, no solo qué se te olvidó.

Los errores que más se repiten

Estos son los tropiezos típicos en quienes llegan al examen con buena base:

• Escribir P con los vectores en el orden equivocado. La columna i de P debe corresponder al valor propio en la posición i de D.
• Olvidar que el vector cero no es propio. Si te queda solo la solución trivial, te equivocaste en el valor propio.
• Dar por hecho que repetición significa «no diagonalizable». Es falso: la matriz identidad tiene un valor propio repetido y es diagonal desde el comienzo.
• No justificar. Escribir «no es diagonalizable» sin la comparación de dimensiones suele dar puntaje parcial, aunque la conclusión sea correcta.

Para quién es este enfoque y cuándo no te sirve

Funciona si ya manejas determinantes y sistemas lineales y lo que te falta es criterio para elegir el método. Si todavía te cuesta resolver un sistema por escalonamiento, no sigas con valores propios: vuelve a lo básico, porque cada ejercicio de este tema se apoya en resolver (A − λI)v = 0 sin errores.

Tampoco reemplaza tu material del curso. Si tu sección ve otro orden de temas, o su examen se concentra más en transformaciones lineales que en diagonalización, ajusta el plan. Para ver la misma lógica de decidir antes de calcular en otro ramo, mira el examen de Estadísticas I de la UAndes, donde el problema de fondo es parecido.

Si quieres practicar con ejercicios resueltos paso a paso y una estrategia por tipo de problema, revisa los cursos de preparación de Aromperla. Y para encontrar las guías de los demás ramos, pasa por nuestra página de la Universidad de los Andes.