Dos compañeros resuelven el mismo problema de optimización. Ambos llegan a x = 5 e y = 2,5. Uno entrega la hoja con tres líneas y un resultado encerrado en un círculo; el otro escribe el planteamiento, verifica que se cumple la restricción y dice por qué ese punto es un máximo y no un mínimo. Con la misma respuesta, no se llevan la misma nota. En el examen de Métodos Matemáticos I, la diferencia casi siempre está en esos pasos que parecen de relleno y que en realidad son lo que el corrector está buscando.

Esta guía parte de una idea simple: en un examen largo y acumulativo, el método ordenado rinde más que la velocidad. Si te tropiezas con el álgebra a mitad de camino, el orden te permite encontrar el error; la prisa, no.

Lo que conviene confirmar antes de abrir los apuntes

No tengo el temario ni la pauta oficial del examen de este semestre, y cambian según profesor y sección. Lo que sigue es una estrategia de estudio sobre los temas que suelen aparecer en un primer curso de métodos matemáticos para economía y administración, no una filtración de lo que va a salir. Revisa el programa de tu sección y consulta la Secretaría de Estudios de la FEN (consultado el 30 de octubre de 2026) por fechas, ponderaciones y qué materiales puedes llevar.

Tres preguntas que vale la pena responder hoy: ¿el examen es acumulativo o solo cubre lo último?, ¿se permite calculadora?, ¿hay formulario? La respuesta cambia cuánto tiempo dedicas a memorizar y cuánto a practicar el planteamiento. Si necesitas volver a lo anterior, tienes las guías de la Solemne 1 y de la Solemne 2; esta no las repite y se concentra en cómo se corrige un examen que junta todo.

Tabla: qué método pide cada tipo de problema

Este es un esquema propio para practicar la elección de herramienta. Resume el tratamiento estándar del tema; tu profesor puede usar otra notación o agregar casos, así que contrástalo con tus apuntes.

Mira la última columna. Es la que casi nadie llena, y es la que separa una respuesta completa de una apenas correcta. Para profundizar en el método de Lagrange tienes la explicación de Wikipedia, «Multiplicadores de Lagrange» (consultado el 30 de octubre de 2026), que sirve como repaso, no como reemplazo de tus apuntes.

Un ejemplo completo con restricción: dos caminos, mismo resultado

Un ejemplo con números inventados por mí, solo para practicar: maximiza f(x, y) = x·y sujeto a x + 2y = 10. Conviene resolverlo por los dos caminos, porque en el examen uno te sirve para chequear al otro.

Por sustitución: de la restricción, x = 10 − 2y. Entonces f = (10 − 2y)·y = 10y − 2y². La derivada es 10 − 4y; igualada a cero da y = 2,5, y por lo tanto x = 5. La segunda derivada es −4, negativa, así que es un máximo, y el valor es f = 12,5.

Por Lagrange: L = xy − λ(x + 2y − 10). Las condiciones son y = λ, x = 2λ y la restricción. De las dos primeras, x = 2y; metido en la restricción queda 2y + 2y = 10, o sea y = 2,5 y x = 5. Mismo punto. Además, λ = 2,5: si la restricción pasara de 10 a 11, el valor óptimo subiría aproximadamente 2,5 unidades. Esa frase, con su unidad y su signo, es lo que muchas pautas premian en la pregunta de interpretación.

Fíjate en lo que no hace falta: ninguna cuenta difícil. Lo que se evalúa es que la restricción esté bien escrita, que el punto la cumpla y que expliques por qué es un máximo.

Condiciones de segundo orden: el paso que se olvida

Encontrar el punto donde la derivada vale cero es solo la mitad. Sin el chequeo de segundo orden, lo que tienes es un punto crítico, no un óptimo. Un caso corto para tener en la cabeza: f(x) = x·e^−x. Su derivada es e^−x(1 − x), que se anula en x = 1. La segunda derivada es e^−x(x − 2), y en x = 1 vale −e⁻¹, negativa: máximo local.

En varias variables el razonamiento es el mismo, pero con la matriz hessiana: definida negativa, máximo; definida positiva, mínimo; si los signos se mezclan, punto silla. Si en tu curso viste condiciones con la hessiana orlada para problemas con restricción, anota en la hoja de repaso cuál es el criterio que usa tu profesor, porque la notación varía.

Sistemas lineales y matrices: discutir antes de resolver

Cuando el sistema trae un parámetro, la pregunta casi nunca es «resuélvelo», sino «para qué valores tiene solución única, infinitas o ninguna». Dos sistemas pequeños muestran la idea: x + y = 3 junto con 2x + 2y = 6 tiene infinitas soluciones, porque la segunda ecuación es el doble de la primera; en cambio x + y = 3 junto con 2x + 2y = 7 no tiene ninguna, porque las ecuaciones se contradicen. La diferencia está en un solo número, y se ve apenas escalonas.

La rutina que funciona: escribe la matriz ampliada, escalona, y pregúntate en qué valores del parámetro desaparece un pivote. Recién ahí separas casos. Quien parte despejando variables sin mirar el rango suele dejar casos afuera, y los casos que faltan restan puntos aunque lo demás esté perfecto.

El error de álgebra que se arrastra hasta el final

En un examen largo, un signo mal copiado en la primera página contamina cuatro preguntas. Algunas costumbres que ayudan a atajarlo:

• Copia el enunciado a tu hoja con las letras tal como vienen, sin renombrar variables «para ir más rápido».
• Deriva en una línea aparte y revísala una vez antes de igualar a cero.
• Sustituye el resultado en la restricción original, no en una versión ya manipulada.
• Si un resultado sale absurdo (una cantidad negativa donde no puede serlo), vuelve al planteamiento antes de seguir.

Muchos pierden más puntos por perder el hilo que por no saber el tema. Un examen se puede recuperar a mitad de camino si tienes cada paso escrito; si tienes solo el resultado, no hay nada que rescatar.

Plan de estudio para la semana y a quién le sirve

Con unos siete días por delante, un reparto razonable es este: un día para derivadas y optimización sin restricción, un día para Lagrange y sustitución, un día para varias variables y hessiana, un día para sistemas y matrices con parámetro, y tres días para ensayos con pruebas anteriores, cronometrados y corregidos contra pauta. Tus propias solemnes ya corregidas son el mejor mapa de errores: si perdiste puntos por álgebra, practica el chequeo; si fue por plantear mal, vuelve a la tabla de arriba.

Mi postura, sin rodeos: este enfoque le sirve a quien sabe derivar y resolver sistemas, pero entrega hojas desordenadas y pierde puntos por eso. No le sirve a quien todavía se pierde en derivadas de funciones compuestas; en ese caso, antes de ensayar exámenes completos, conviene volver a la base, porque nada de lo anterior funciona sin ella. Y si tu profesor corrige solo el resultado final, igual escribe los pasos: es tu seguro contra tu propio error.

Si prefieres un orden ya armado, con ejercicios resueltos y práctica guiada, puedes revisar el curso de Métodos Matemáticos I (ENMEM1005) FEN en ARomperla. Y si estás armando el cierre del semestre completo, en el hub de la Universidad de Chile están las guías de los otros ramos de la FEN. Escribe cada paso: el resto se ordena solo.