Imagina que abres la I3 de Cálculo III y el primer problema te da un campo vectorial, una superficie con una parametrización incómoda y una curva que la bordea. Tienes dos caminos: calcular la integral de superficie a pulso, con derivadas parciales y producto cruz, o darte cuenta de que el teorema de Stokes la convierte en una integral de línea de tres renglones. La tesis de esta guía es simple: en la I3 de MAT1630 gana quien elige el teorema antes de calcular, no quien calcula más rápido.

Sirve si ya pasaste lo anterior del semestre. Si todavía dudas con curvas y longitud de arco, vuelve primero a la guía de la I1 y a la de la I2, porque la I3 las da por sabidas.

Qué cubre el programa y qué probablemente cae en la I3

El programa de MAT1630 en el Catálogo UC (consultado el 14 de octubre de 2026) ordena el curso en cuatro unidades: curvas, campos vectoriales e integrales de línea (con el teorema de Green), integrales de superficie I (parametrización, áreas y flujo) e integrales de superficie II (ley de Gauss, teorema de Stokes y teorema de la divergencia). El catálogo indica una versión de mayo de 2013 actualizada en diciembre de 2025.

Lo que sigue es una inferencia, no un dato oficial: como la I3 suele ser la última evaluación del semestre, lo más probable es que concentre las unidades finales, es decir, superficies y los tres teoremas grandes. El calendario exacto depende de tu sección, así que revisa el syllabus de tu profesor. Y un aviso útil: el catálogo no lista integrales dobles ni triples como unidad propia, así que si tu sección las incluye, confírmalo con tu syllabus antes de dedicarles la semana.

Un mapa para elegir teorema antes de calcular

Antes de escribir una sola derivada, mira qué te dan y qué te piden. La tabla resume el reflejo que conviene entrenar. No es una regla absoluta: si el enunciado exige calcular directamente, calcula directamente.

Un buen ejercicio: tapa las dos columnas de la derecha y complétalas de memoria con enunciados de pruebas anteriores. Donde te trabes, ahí está tu repaso.

Green: el ejemplo de la circunferencia

Calcula la integral de línea de F = (−y, x) sobre la circunferencia de radio 2, recorrida en sentido antihorario. A mano, con x = 2cos t e y = 2sen t, el integrando −y dx + x dy se reduce a 4 sen²t + 4 cos²t = 4, y la integral de 0 a 2π vale 8π.

Con Green es todavía más corto. El rotacional escalar de F es ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1 − (−1) = 2, así que la integral es 2 por el área del disco: 2 · 4π = 8π. Mismo resultado, sin parametrizar nada. La lección es repetible: cuando la curva es cerrada y el rotacional escalar es una constante, Green convierte el problema en un área.

Stokes: cambia la superficie, no el resultado

El teorema de Stokes pide una superficie suave y orientable, y un campo con derivadas parciales continuas. Relaciona el flujo del rotacional a través de la superficie con la integral de línea del campo sobre su borde. Lo útil para la prueba es esto: varias superficies distintas pueden compartir el mismo borde, y todas dan el mismo flujo del rotacional.

Ejemplo: F = (−y, x, 0), cuyo rotacional es (0, 0, 2). Quieres el flujo del rotacional a través del hemisferio superior de la esfera unitaria, con normal hacia arriba. Calcularlo sobre el hemisferio exige parametrizar con coordenadas esféricas. Pero el borde del hemisferio es la circunferencia unitaria del plano z = 0, que también es el borde del disco plano. Sobre el disco, la normal es (0, 0, 1) y el flujo es 2 por el área, o sea 2π. Si lo haces por la integral de línea, −y dx + x dy sobre la circunferencia unitaria da 1 dt, y de 0 a 2π sale otra vez 2π.

Cuando un enunciado te dé una superficie incómoda con un borde fácil, pregúntate si hay una superficie más simple con el mismo borde. Es el atajo que más tiempo ahorra en la sala.

Divergencia: el flujo que se calcula sin tocar la superficie

El teorema de la divergencia aplica a superficies cerradas. Toma F = (x, y, z) y la esfera unitaria. Por el lado difícil, necesitas la normal en cada punto y una integral de superficie. Por el lado corto, la divergencia de F es 3, el volumen de la esfera es 4π/3, y el flujo total sale directo: 3 · 4π/3 = 4π.

Verifica el resultado de otra forma, como hábito: sobre la esfera unitaria, F · n = 1 en todos los puntos, y el área de la superficie es 4π. Coincide. Hacer esa segunda verificación en tu hoja de borrador toma un minuto y evita entregar un signo o un factor equivocado.

Una trampa clásica: si la superficie del enunciado es una "copa" abierta, el teorema no aplica tal cual. Hay que cerrarla con una tapa, calcular el flujo por la tapa aparte y restarlo.

Orientación y signos: donde se van los puntos

Gran parte de los puntos perdidos en esta unidad no son errores de cálculo, son errores de orientación. Revisa siempre tres cosas antes de entregar:

• Sentido de la curva en Green. Antihorario da signo positivo; horario invierte el resultado.
• Normal de la superficie. El enunciado dice "hacia arriba", "hacia afuera" o te da una parametrización; verifica que tu normal coincida y no la asumas.
• Borde en Stokes. Debe recorrerse con la orientación inducida por la normal (regla de la mano derecha). Si te sale el signo contrario al de la otra vía, casi seguro es esto.

Si tu respuesta sale negativa donde esperabas un flujo hacia afuera, no la dejes así por apuro: revisa la normal.

Cómo repasar sin rehacer el semestre, y para quién sirve esta estrategia

Mi recomendación para la última semana: un día para curvas y longitud de arco, un día para integrales de línea y Green, dos días para superficies (parametrización, área y flujo), y dos días para Stokes y divergencia con problemas de pruebas anteriores, siempre decidiendo el teorema antes de calcular. El último día, simula una prueba completa con tiempo.

Esta estrategia le sirve a quien ya maneja las derivadas parciales y el producto cruz, y necesita ordenar cuándo usar cada herramienta. No le sirve a quien aún no logra parametrizar una superficie simple: en ese caso, empieza por ahí, porque ningún teorema te salva de una parametrización mal armada. Para sumar práctica guiada con problemas resueltos, mira el curso de Cálculo III (MAT1630) UC en ARomperla, y revisa el resto de las guías de tu universidad en el hub de la UC.