Imagina dos enunciados casi iguales. En el primero, una máquina puede estar operativa o en reparación y “cada día cambia de estado con cierta probabilidad”. En el segundo, esa misma máquina se descompone “en promedio una vez al día” y la reparación toma “en promedio un tercio de día”. Para el ojo apurado son el mismo problema; para la I2 de Modelos Estocásticos son dos mundos distintos. El primero se resuelve con una matriz de transición. El segundo, con tasas.
Esta guía es para quien resolvió la I1 con cadenas de Markov en tiempo discreto y ahora siente que el ramo cambió de idioma. Si todavía dudas de cómo armar la matriz P, vuelve primero a nuestra guía de la I1 de ICS2123. Y si tu problema es elegir la distribución correcta en un enunciado, te sirve también la guía de la I2 de EYP1113.
Qué cambia entre la I1 y la I2
El programa de ICS2123 en el Catálogo UC (consultado el 30 de septiembre de 2026) ordena el ramo en siete temas: introducción a la modelación estocástica, proceso de Poisson, procesos de renovación, cadenas de Markov en tiempo discreto, cadenas de Markov en tiempo continuo, sistemas de espera y una introducción a la simulación de eventos discretos. Vale 10 créditos y las evaluaciones son “pruebas, proyectos y/o tareas”.
Dos advertencias honestas: la versión publicada del programa es de mayo de 2009 y no trae ponderaciones. Qué temas entran exactamente en tu I2 lo define el programa de tu sección, así que confírmalo con tu profesor. Lo que sí se puede afirmar es la dirección del ramo: después de la parte discreta, todo pasa a depender del tiempo transcurrido, y ahí la pregunta deja de ser “cuál es la probabilidad de pasar de i a j” y pasa a ser “a qué velocidad ocurre cada cosa”.
Traduce la frase a una tasa
La habilidad central de la I2 es leer un enunciado y decidir qué objeto matemático lo describe. Usa esta tabla como brújula: subraya la frase y busca su fila.
| Lo que dice el enunciado | Objeto probable | Qué debes comprobar |
|---|---|---|
| “Llegan en promedio 2 por hora, de forma independiente” | Proceso de Poisson de tasa λ = 2 | Que la tasa se mantenga constante y que no haya llegadas simultáneas |
| “Cuánto se demora hasta la próxima llegada” | Exponencial(λ) | Que tasa y tiempo estén en la misma unidad |
| “Cambia de estado a tasa a, vuelve a tasa b” | Cadena de Markov en tiempo continuo | Que entiendas la tasa como “por unidad de tiempo”, no como probabilidad |
| “Un servidor, llegadas Poisson, servicio exponencial” | Cola M/M/1 | Que λ < μ, o el sistema no es estable |
| “Cada tiempo entre eventos tiene la misma distribución, no necesariamente exponencial” | Proceso de renovación | Que no apliques propiedades de Poisson que aquí no valen |
La columna de la derecha es la que te salva puntos. Casi nadie pierde por escoger la fila equivocada; se pierde por no verificar la condición que sostiene esa fila.
Proceso de Poisson: dos cuentas que tienes que hacer sin pensar
Según el artículo sobre el proceso de Poisson en Wikipedia (consultado el 30 de septiembre de 2026), los tiempos entre eventos consecutivos son exponenciales de parámetro λ y los conteos en un intervalo de largo t siguen una Poisson de parámetro λt. Con eso salen casi todos los ítems. Si llegan 2 clientes por hora:
- Cero llegadas en media hora. El conteo es Poisson con parámetro 2 · 0,5 = 1, así que
P(N = 0) = e^(−1) ≈ 0,3679. - Al menos tres llegadas en una hora. Ahora el parámetro es 2 y conviene el complemento:
1 − e^(−2)(1 + 2 + 2) = 1 − 5 · 0,1353 ≈ 0,3233.
Observa el detalle que más se castiga: el parámetro cambia con el largo del intervalo. Cambiar de “media hora” a “una hora” sin ajustar λt es el error de unidades clásico, y no lo salva ninguna cuenta bien hecha.
Cadenas de Markov en tiempo continuo: la tasa no es una probabilidad
Aquí se cae más gente que en cualquier otro tema. En tiempo discreto, cada entrada de la matriz era una probabilidad y cada fila sumaba 1. En tiempo continuo describes el sistema con una matriz de tasas: las entradas fuera de la diagonal son tasas de salto y la diagonal se completa para que cada fila sume 0. Una tasa puede valer 3, que como probabilidad sería absurdo.
Ejemplo corto con la máquina del comienzo. Falla a tasa 1 por día (de operativa a en reparación) y se repara a tasa 3 por día. Las ecuaciones de balance en régimen estacionario igualan el flujo que sale de cada estado con el que entra: π_operativa · 1 = π_reparación · 3, con π_operativa + π_reparación = 1. Resolviendo, π_operativa = 3/4 = 0,75. Es decir, la máquina funciona el 75% del tiempo, y llegaste sin invertir una sola matriz.
Un chequeo que cuesta diez segundos: las probabilidades estacionarias deben sumar 1 y ninguna puede ser negativa. Si tu resultado no lo cumple, revisa el signo de la diagonal.
Colas M/M/1: fórmulas, pero con condición
Según el artículo sobre teoría de colas en Wikipedia (consultado el 30 de septiembre de 2026), M/M/1 es la cola más sencilla: llegadas de Poisson, servicio exponencial y un único servidor. Solo es analizable si la tasa de llegadas es menor que la de servicio; si no, la fila crece sin límite. Con ρ = λ/μ < 1, el número medio en el sistema es L = ρ/(1 − ρ) y el tiempo medio en el sistema es W = 1/(μ − λ).
Un caso completo: llegan 4 clientes por hora y el servidor atiende 6 por hora. Entonces ρ = 2/3, L = (2/3)/(1/3) = 2 clientes y W = 1/(6 − 4) = 0,5 horas, o sea 30 minutos. La ley de Little lo confirma: L = λW = 4 · 0,5 = 2. Usa esa igualdad como control cruzado; si no calza, hay un error de unidades. Si además te piden solo el tiempo de espera en fila, réstale el tiempo de servicio: 30 minutos menos 10 minutos de servicio son 20 minutos.
Errores que se repiten en esta parte del ramo
- Tasa contra probabilidad. Tratar una tasa como si fuera probabilidad de un paso. Pregúntate siempre “por unidad de qué”.
- Unidades cruzadas. Llegadas por hora, servicio en minutos. Escribe la unidad al lado de cada dato antes de reemplazar.
- Olvidar la condición de estabilidad. Aplicar las fórmulas de M/M/1 con λ ≥ μ da números que no significan nada.
- Usar propiedades de Poisson en un proceso de renovación. Si los tiempos entre eventos no son exponenciales, la falta de memoria no vale.
Plan de una semana, y a quién no le sirve
Si tu I2 está a unos siete días, este reparto funciona:
- Días 1 y 2: tabla de traducción con diez enunciados de pruebas anteriores. Sin calcular: solo el objeto y su condición.
- Día 3: Poisson y exponencial, con las unidades a la vista.
- Día 4: matriz de tasas y ecuaciones de balance.
- Día 5: colas y ley de Little, con verificación cruzada.
- Día 6: una prueba anterior completa con tiempo real.
- Día 7: solo tus errores. Nada nuevo.
Este plan no le sirve a quien aún no domina la cadena de Markov discreta: primero conviene hacer la aritmética de la nota que necesitas para decidir dónde poner las horas. Tampoco le sirve a quien ya traduce enunciados con soltura; a esa persona le rinde más resolver pruebas anteriores con reloj desde el primer día.
Nuestra postura es simple: en la I2 casi nunca pierdes por no saber una fórmula, pierdes por no haber decidido qué objeto era el problema. Cuando lo decides bien, las cuentas se ordenan solas. Si quieres ejercicios resueltos para entrenar esa decisión, revisa los cursos de preparación de Aromperla, y para el resto de las guías de la Católica pasa por nuestra página de la UC.
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