Si estás en Ingeniería Comercial en la FEN y te toca la Prueba 1 de Aplicaciones Matemáticas (EAF2010), respira. Este ramo asusta más por la notación que por la dificultad real: en el fondo es cálculo y álgebra puestos a trabajar para la economía. Con un plan claro y ejercicios bien elegidos, esta primera prueba es totalmente aprobable. Acá te dejo una guía honesta, sin adornos, para que llegues con la cabeza ordenada.

Qué entra en la Prueba 1 de EAF2010

La Prueba 1 suele concentrar la primera mitad del semestre: funciones de varias variables, curvas de nivel, límites y continuidad básica, derivadas parciales, gradiente, y las primeras nociones de optimización. Todavía no aparecen las ecuaciones diferenciales ni los sistemas dinámicos completos, así que no te dispersos estudiando lo que viene después.

El formato típico son tres o cuatro ejercicios largos, cada uno con varias partes que se van encadenando. Eso tiene una consecuencia importante: si te equivocas en la letra (a), arrastras el error hacia la (b) y la (c). Por eso conviene revisar cada paso antes de seguir, y no dejar la prueba entera para el final. Anda cerrando ejercicios de a uno.

Funciones de varias variables y curvas de nivel

El punto de partida es soltar la idea de que una función solo depende de una variable. Acá trabajas con f(x, y), donde el resultado depende de dos entradas a la vez. En economía esto es natural: la utilidad depende de dos bienes, la producción depende de capital y trabajo, el costo depende de varios insumos.

Las curvas de nivel son la herramienta visual clave. Son los puntos donde la función toma un valor constante: en microeconomía las llamas curvas de indiferencia o isocuantas. Para dibujarlas, fija f(x, y) = c y despeja. Practica reconocer si una curva de nivel es una recta, una hipérbola o una parábola, porque en la prueba te van a pedir interpretarlas, no solo graficarlas.

Un consejo tonto pero útil: siempre parte identificando el dominio. Muchos errores nacen de olvidar que un logaritmo o una raíz restringen los valores posibles de x e y.

Otra idea que ayuda mucho es pensar cada curva de nivel como una “foto” del relieve de la función. Si imaginas f(x, y) como un cerro, las curvas de nivel son justo las líneas de un mapa topográfico: mientras más juntas estén, más empinada es la función en esa zona. Esa intuición te sirve después para entender por qué el gradiente apunta hacia donde la función sube más fuerte.

Derivadas parciales, gradiente y elasticidades

Las derivadas parciales son el corazón de la Prueba 1. La lógica es simple: derivas respecto a una variable tratando a la otra como si fuera un número. Si tienes f(x, y) = x²y + 3y, entonces la parcial respecto a x es 2xy, y respecto a y es x² + 3. La mecánica es la del cálculo de una variable; lo único nuevo es acordarte de congelar la otra.

El gradiente junta ambas parciales en un vector y te dice hacia dónde crece más rápido la función. Es un concepto que reaparece toda la vida del ramo, así que vale la pena entenderlo bien ahora y no memorizarlo a la mala.

La aplicación económica estrella son las elasticidades. La elasticidad mide cuánto cambia porcentualmente una variable cuando otra cambia un 1%. Se arma con derivadas parciales multiplicadas por el cociente de las variables. Ojo con los signos y con no confundir elasticidad con la derivada a secas: son cosas distintas, y en la prueba lo distinguen.

Optimización sin y con restricciones

La segunda mitad de la prueba suele ser optimización. Para el caso sin restricciones, buscas los puntos donde ambas parciales se anulan (los puntos críticos) y después clasificas usando la matriz Hessiana. Aprende bien el criterio: el signo del determinante y de la segunda parcial te dice si es máximo, mínimo o punto de silla.

Para el caso con restricciones entra el método de Lagrange. La idea es armar la función lagrangiana sumando la restricción multiplicada por un lambda, y luego igualar todas las parciales a cero. El famoso lambda no es un número cualquiera: se interpreta como el valor marginal de relajar la restricción, y esa interpretación económica suele valer puntos.

Si el curso ya alcanzó a ver KKT (condiciones de Karush-Kuhn-Tucker) para desigualdades, revisa al menos el planteamiento. En la Prueba 1 muchas veces solo lo introducen, pero conviene no llegar en blanco.

Ejercicios resueltos tipo Prueba 1

La única forma real de preparar EAF2010 es haciendo ejercicios, no leyendo apuntes. Consigue las pruebas de semestres anteriores y resuélvelas con reloj: la Prueba 1 se gana en velocidad tanto como en criterio. Un plan sencillo que funciona: dedica una semana a parciales y elasticidades, otra a optimización, y los últimos días a pruebas completas cronometradas.

Cuando revises tus errores, clasifícalos. Si son de álgebra (signos, despejes), tu problema es de práctica y se arregla con volumen. Si son de concepto (no sabías clasificar un punto crítico), ahí tienes que volver a la teoría antes de seguir sumando ejercicios a ciegas.

Si quieres ejercicios resueltos paso a paso y ordenados por tema, el curso completo de Aplicaciones Matemáticas (EAF2010) cubre el contenido de la prueba 1, la prueba 2 y el examen, con desarrollos explicados para que veas exactamente cómo se arma cada respuesta. Es una buena forma de destrabarte si estudiando solo te estás pegando contra la pared.

Errores típicos y cómo administrar el tiempo

El error más común no es matemático: es de gestión. Muchos se quedan pegados diez minutos en la parte (a) de un ejercicio y llegan sin tiempo a dos ejercicios completos que sabían hacer. La regla es dura pero sirve: si un ítem no sale en unos minutos, márcalo y sigue. Vuelves al final.

Los otros clásicos son confundir derivada parcial con total, olvidar el dominio de la función, equivocarse en el signo del gradiente y plantear mal la lagrangiana (sobre todo olvidar una restricción). Ninguno es grave si lo tienes fichado de antemano; casi todos se evitan con una revisión rápida antes de entregar.

Y un punto que suena obvio: escribe ordenado. En pruebas de desarrollo, el ayudante corrige lo que entiende. Si tu procedimiento está claro, es más fácil que te den puntaje parcial aunque el número final falle.

Si quieres ver cómo se conecta este ramo con el resto de tu malla y encontrar más guías de la FEN, date una vuelta por el hub de la Universidad de Chile, donde reunimos los ramos de primer año con sus pruebas y solemnes.

Preguntas frecuentes

¿Es muy difícil la Prueba 1 de EAF2010?
No es de las más difíciles de primer año, pero castiga la falta de práctica. Si entiendes derivadas parciales y optimización básica, y llegas con ejercicios hechos, estás en buen pie.

¿Necesito manejar bien Cálculo I de antes?
Sí, sobre todo derivadas y reglas de la cadena. Aplicaciones Matemáticas asume esa base y la extiende a varias variables, así que si vienes flojo conviene repasar primero lo de una variable.

¿Entra materia de ecuaciones diferenciales en la Prueba 1?
Generalmente no. Los sistemas dinámicos y las ecuaciones diferenciales o en diferencias suelen quedar para la Prueba 2 y el examen. Confirma igual el temario con tu profesor.

¿Cuántos ejercicios conviene hacer para llegar listo?
No hay número mágico, pero apunta a resolver al menos tres o cuatro pruebas antiguas completas y cronometradas. Eso te da velocidad y te muestra los patrones que se repiten de semestre en semestre, que suelen ser más de los que uno cree.

¿Sirve estudiar en grupo?
Sí, para discutir conceptos y compararte, pero la prueba la rindes solo. Asegúrate de resolver ejercicios por tu cuenta antes de la evaluación, sin apoyarte en el compañero que siempre sabe.